Dlančnik (PDA)

Poglejte polno različico : Matematicna naloga


jono
20.02.2006, 19:46
Ze cel dan si pulim lase ker ne znam zracunat ene cist navadne naloge iz visje matematike. No zdej bi prosu ce ma kdo kej pojma o tem kako se jo resi.

Naloga:
Vsota treh realnih števil je 5, vsota njihovih kvadratov pa 9.
Kako moramo izbrat stevila da bo njihov produkt najvecji?


No vidte tko sem ze obupan da ze na forumu sprasujem kako pa kaj... :sad:

No pa da vidm ce je kdo od vas pametnejsi od mene :blush:

pinky
20.02.2006, 20:02
ne da se mi ... pomagaj si s temle:

http://sumo.stanford.edu/smt/2001/smt-solutions.pdf

išči 2001 Stanford Math Tournament
Calculus
naloga 8

mrjerry
21.02.2006, 11:29
Nimam casa it resevat, ampak samo v namig:

Ce so a, b in c stranice kvadra, potem prva enacba predstavlja vsoto dolzin razlicnih stranic, druga pa dolzino diagonale. Isces torej stranice kvadra z diagonalo dolgo 3 in obsegom 20 (stirikrat po a, b in c), ki ima najvecji volumen.

Diagonala v 3D prostoru zarisuje kroglo. Kvader, ki ga isces, se z eno od tock dotika te krogle.

jono
22.02.2006, 11:50
ne da se mi ... pomagaj si s temle:

http://sumo.stanford.edu/smt/2001/smt-solutions.pdf

išči 2001 Stanford Math Tournament
Calculus
naloga 8

Ja tole je res cist ista naloga samo z malo spremenjenimi podatki--ampak na zalost men isto ne pride tko lepo kot v nalogi.
A se mogoce da ta naloga resit z uporabo odvodov?

jono
22.02.2006, 11:53
Nimam casa it resevat, ampak samo v namig:

Ce so a, b in c stranice kvadra, potem prva enacba predstavlja vsoto dolzin razlicnih stranic, druga pa dolzino diagonale. Isces torej stranice kvadra z diagonalo dolgo 3 in obsegom 20 (stirikrat po a, b in c), ki ima najvecji volumen.

Diagonala v 3D prostoru zarisuje kroglo. Kvader, ki ga isces, se z eno od tock dotika te krogle.

Ok...To pa sploh ne razumem kako bi se pripravu racunat po tej tvoji teoriji...:nonono:

mrjerry
23.02.2006, 09:29
Uporabis geometrijske zveze na krogli. Bistvo tvoje naloge je, da dve stranici izrazis s tretjo. Nato to vstavis v enacbo produkta. Celotna enacba bo tedaj odvisna samo od te stranice, zato jo lahko b.p. odvajas in izracunas nicle odvoda. Iz prej dolocenih zvez nato izracunas se preostali dve stranici.

Problem tvoje naloge je namrec v tem, da imas nelinearen sistem enacb in je zato malo bolj skatljivo dobit zveze med spremenljivkami. Z geometrijo si (vsaj jaz) precej lazje pomagam ;)

BMX
23.02.2006, 10:14
Naloga:
Vsota treh realnih števil je 5, vsota njihovih kvadratov pa 9.
Kako moramo izbrat stevila da bo njihov produkt najvecji?
Mal na prvo žogo: ta tri realna števila so 1, 2, 2. Vsota je torej 1+2+2=5 in vsota kvadratov 1²+2²+2²=9. Kdaj bo pa produkt največji/kako to doseči???

mrjerry
23.02.2006, 10:18
Z odvajanjem izraza a*b*c, lahko pa tudi z iskanjem vezanega ekstrema. Ce me spomin ne vara, ima to nekaj zveze z Lagrengeovim funkcionalom, ampak sem ze mal pozabil, kako tocno stvar laufa. U glavnem, z Lagrangem resis zmeraj, ce pa si sposoben uvideti kaksno pametno geometrijsko zvezo, se da pa resit ze z elementarnim calculusom.

Cifra
23.02.2006, 10:20
Gre za realna (!!!!) števila, ne nujno cela, zato priporočam jerryjev pristop.
Enačbi predstavljata kroglo in premico v prostoru, izračunat pa moraš presečišče (glede na največji produkt)

Jest sem take naloge reševala preveč dolgo nazaj in se ne spomnim več dobro, kako in kaj, iskat se mi pa ne da po starih zapiskih :shy:

mrjerry
24.02.2006, 09:26
Gre za realna (!!!!) števila, ne nujno cela, zato priporočam jerryjev pristop.
Enačbi predstavljata kroglo in premico v prostoru, izračunat pa moraš presečišče (glede na največji produkt)

Jest sem take naloge reševala preveč dolgo nazaj in se ne spomnim več dobro, kako in kaj, iskat se mi pa ne da po starih zapiskih :shy:

o porka putanna... realna stevila so lahko tudi negativna...

No, z geometrijo prides samo do pozitivnih resitev, do vseh resitev pa brzkone samo z lagrangeom.

p.s., cifra, pa prav imas glede krogle in premice.

Cifra
24.02.2006, 09:31
No, z geometrijo prides samo do pozitivnih resitev, do vseh resitev pa brzkone samo z lagrangeom.
Jest sem imela v mislih pozitivna realna števila, sem tud jest pozabla na negativna :shy:

mrjerry
24.02.2006, 09:43
Mal sva zabluzila, ves :D

x^2 + y^2 + z^2 = 9 predstavlja lupino krogle.
x + y + z = 5 pa predstavlja ravnino, ne pa premice (se mi zdi).

Torej imamo opravka z lupino krogle in ravnino. Ta ravnina prereze lupino krogle. Presek med ravnino in lupino je kroznica. Isces tocke na tej kroznici, katerih produkt je maksimalen.

Priporocam Lagrangea :D

Cifra
24.02.2006, 09:49
Mal sva zabluzila, ves :D

x^2 + y^2 + z^2 = 9 predstavlja lupino krogle.
x + y + z = 5 pa predstavlja ravnino, ne pa premice (se mi zdi).

Torej imamo opravka z lupino krogle in ravnino. Ta ravnina prereze lupino krogle. Presek med ravnino in lupino je kroznica. Isces tocke na tej kroznici, katerih produkt je maksimalen.

Priporocam Lagrangea :D
Čist možno, ja... sej pravim, da sem take nalogce že dolgo nazaj reševala, zihr kakih 6 let nazaj :shock: :shy:
Drugič bom raj tih, da ne bom revčka čist zmedla :angel:

mrjerry
24.02.2006, 10:09
No, mi je do*****ilo in sem sel lepo knjigo gledat. Pise:

V praksi cesto naletimo na problem vezanega ekstrema. Gre za ekstrem funkcije z=f(x1,x2,...,xn), kjer spremenljivke x1, x2, ..., xn niso nedovisne, ampak povezane z m pogoji:
g1(x1,x2,...,xn)=0
g2(x1,x2,...,xn)=0
...
gm(x1,x2,...,xn)=0, m<n

Tedaj sestavimo novo funkcijo:
F(x1,x2,...,xn) = f(x1,x2,...,xn) + l1g1+l2g2+...+lmgm

Iz enacba dF/dxi = 0 (parcialni odvodi) in pogojev poiscemo neznanke x1,x2,...,xn,l1,l2,...,lm.

Uporaba:
Imamo funkcijo V = xyz in pogoja
x+y+z-5=0 in
x^2+y^2+z^2-9=0

Sestavimo funkcional:
F(x,y,z)=xyz + l1(x+y+z-5) + l2(x^2+y^2+z^2-9)

Parcialno odvajamo po x, y in z. Dobimo enacbe
yx + l1 + 2l2x = 0
xz + l1 + 2l2y = 0
xy + l1 + 2l2z = 0\

Te enacbe, skupaj s pogojema, sem vrgel v mathematico in dobil naslednje resitve:
(2,2,1)
(2,1,2)
(1,2,2)
(4/3,4/3,7/3)
(4/3,7/3,4/3)
(7/3,4/3,4/3)

Posamezni produkti stevil pa so:
4
4
4
4.15
4.15
4.15

Resitve so torej:
(4/3,4/3,7/3)
(4/3,7/3,4/3)
(7/3,4/3,4/3)

dzuko
24.02.2006, 11:18
Đeri a bi šel ti kakšen izpit zame delat?

mrjerry
24.02.2006, 11:19
lol

Ne :D

Cifra
24.02.2006, 11:25
Jerry, a nisi v službi, da maš cajt se hecat s takimi nalogcami? Al bi blo boljš, če stavk formuliram tkole: Jerry, a ti si v službi, da maš cajt tele nalogce reševat? :big:

Jest sem doma, pa se mam take bedarije za učit, da bi z veseljem zamenjala za tele nalogce :(
ah, ja :(... nej me en v rit brcne, če si bom še kdaj to teorijo prekleto puščala za konec :(

mrjerry
24.02.2006, 11:41
Ce sem cisto odkrit, sem moral na brzino nastudirat nekaj stvari v zvezi s funkcijami vec spremenljivk in sem slucajno naletel se na vezane ekstreme. Naloga je bila resena v treh minutah ;)