Dlančnik (PDA)

Poglejte polno različico : [Matematična naloga] Polž in elastika


Neuromancer
24.09.2006, 01:21
Imamo elastičen trak dolžine 1 m (l0), ki je na enem koncu (točka A) pritrjen na tla. Drugi konec elastike začnemo v trenutku t0 vleči v fiksno določeni smeri (torej raztegovati elastiko) s hitrostjo 1 m/dan (v0). Elastika je neskončno raztegljiva in nikoli ne poči.

Na elastiki je polž v točki A. V trenutku t0 polž začne lesti po elastiki proti odmikajoči se točki B z relativno hitrostjo 1 m/dan (vp) glede na elastiko.

Vprašanje: ali polž kdaj doseže točko B? Če da, kdaj?

Turbo...
24.09.2006, 01:55
Mislim da ne, ker polž leze 1m na dan, prav tako pa se elastika raztegne za 1m na dan, tako da polž nikoli ne pride do konca...

kekez
24.09.2006, 09:16
Če prav razumem, ima polž absolutno (svojo) hitrost 1m/dan? Poleg te hitrosti se mu premikajo še tla, to je elastika.
Pomeni, da glede na okolico ima hitrost večjo. Hitrost tal (točk na elastiki) se veča zvezno med točko A (=0) in točko B (=1m/dan).

Tako na pamet. Zagotovo bo dosegel točko. Od začetka se bo približeval bolj počasi, potem pa mu bo šlo čedalje hitreje.
Izračuna zdaj še ne bom dal, ker sem ravno v odhodu v naravo (nedelja pač), ampak se mi na uč sploh ne zdi težak.

Abronsius
24.09.2006, 11:56
Točko B bo vsekakor dosegel, kdaj je pa mal prehuda za lep sončen nedeljski dan. :)

Zanimivo dejstvo je, da če se polž utrudi in ustavi na elastiki za en dan, pa recimo, da se v tem trenutku nahaja na 1/4 elastike, se bo po enem dnevu počitka še vedno nahajal na 1/4 elastike (vendar bo malo dlje od točke B, ampak bo tudi dlje od točke A).

JohnnyP
24.09.2006, 13:21
Neuromancer, zadeva ja taka:

položaja polža in elastike sta dinamična torej, spremenjliva s časom. Vsak od obeh ima svojo hitrost, poleg tega se pa polžu spreminja hitrost glede na položaj na traku. Polžu se hitrost povečuje premosorazmerno z položajem od izhodišča (točke A). Trak (konica traku - točka B) se premika s hitrostjo 1m/s, točke na tem traku se gibljejo s hitrostjo

hitrost točke = 1m/dan x (točka na traku)/(dolžina traku),

torej, če je opazovana točka v točki A je hitrost ves čas nič, če je je opazovana točka v točki B(konec traku) je hitrost 1m/s. Vmesne točke, med A in B se zvezno speminjajo, glej enačbo.
Zdaj pa dalje.
Polž starta iz točke A, s hitrostjo 1m/dan. Če se trak ne bi raztegoval, bi točko B dosegel v 1 dnevu. To je jasno. Vendar pa se trak premika in s tem tudi vse točke na te traku. Polž se giblje po tem traku, torej se njegova hitrost povečuje, s tem, ko se oddaljuje od točke A. V nekem trenutku (t>0) je njegova hitrost:

hitrost polža(t) = osnovna hitrost polža + hitrost traku x ((točka polža na traku)/(skupna dolžina traku))

Pot polža v nekem trenutku t je:

pot polža = [1m/dan + 1m/dan x (točka, na kateri se nahaja polž)/(1m + 1m/dan x t)]

Iz te enačbe izraziš pot polža (ki je enaka točki na traku, v kateri se nahaja). (Pot polža in točka, na kateri se polž nahaja sta enaki vrednosti, in ju daš na levo stran enačbe, ter izenačiš). Namig: zamenjaš obe vrednosti z X in rešiš enačbo.

Določiti je potrebno čas t. Skupna dolžina traku, v odvisnosti od časa je 1m + (1m/dan) x t .

Torej....dlje ko se polž premakne iz točke A. večjo hitrost ima. Njegova relativna hitrost je 1m/dan, v odnosu na trak, po katerem leze. V točki A ima absolutno hitrost 1m/dan, v točki B ima absolutno hitrost 2m/dan (sicer je malce pogumno govoriti o absolutni hitrosti v vesolju, katerega del smo, pa vendar....tu naj velja absolutna hitrost v odnosu na mirujoča tla, še bolje bi bilo, če bi uporabili izraz "skupna hitrost"). Hitrost med tema dvema točkama se mu zvezno spreminja - povečuje. Pot ki jo mora opraviti v iskanem časovnem intervalu je skupna dolžina traku, torej 1m(začetna dolžina traku) plus 1m/dan x t. Torej:

pot polža = dolžina traku

Od tu naprej pa ne bo težko reštiti, mar ne? Če boš imel še kakšno vprašanje, samo sporoči.

Lep pozdrav!


Aja, rešitev je : polž prileze v točko B v enem dnevu!

Neuromancer
24.09.2006, 14:29
Hej, johnnyp!

naloge si se lotil pravilno, samo tale enačba ne štima:
pot polža = [1m/dan + 1m/dan x (točka, na kateri se nahaja polž)/(1m + 1m/dan x t)]

...zapisal si enačbo za hitrost in ne za pot. Kot boš videl, se stvar malo zakomplicira, saj poti ne moreš enostavno izpostaviti iz enačbe.

pinky
24.09.2006, 14:36
a je odgovor enkrat drugi dan dost? ker bolj natančno se mi zdaj ne da računat....

JohnnyP
24.09.2006, 14:41
Zdravo Neuromancer!

Hvala da si me opozoril na pomanjkljivost Sem pozabil v enačbi na koncu pripisat t. Se opravičujem.
Evo dopolnjena enačba:

pot polža = [1m/dan + 1m/dan x (točka, na kateri se nahaja polž)/(1m + 1m/dan x t)] x t

Pot polža v določenem trenutku t je:

X = ((1m x 1m/dan x t)+(1m/dan x t)^2)/1m

Točka B se v določenem trenutku nahaja na mestu:

X = 1m + 1m/dan x t

Oboje izenačiš in izraziš t.

Rešitev je pa napisana v mojem prejšnjem postu. 1 dan.

Lep pozdrav.

Neuromancer
24.09.2006, 14:50
JohnnyP, enačba pot = hitrost x čas velja samo za gibanje s konstantno hitrostjo. V splošnem primeru, ko hitrost ni konstantna, moramo pot računati kot integral hitrosti po času (to je površina pod krivuljo v(t)).

pinky: morda bo kdo drug izračunal natančen rezultat

mrjerry
25.09.2006, 08:26
Neuro, a se polz na elastiki premika, ali elastika pod njim drsi?

Nevermind... Sem se enkrat prebral definicijo naloge (zadnji stavek se posebej). Vse jasno :)

mrjerry
25.09.2006, 09:13
Polz doseze konec elastike v enem dnevu. Resitev je na spodnji datoteki.

http://www3.shrani.si/thumbs/polz958847.png (http://www3.shrani.si/files/polz958847.pdf)

Neuromancer
25.09.2006, 10:30
juhu, si se pa potrudil :)

Upoštevati moraš, da je tudi L funkcija časa. Ko boš to vstavil v svoj integral, boš naletel na zanimiv problem, he he

mrjerry
25.09.2006, 10:43
Ti dam en cudezni namig:
kolegi, ce zelite dobiti natancno napetostno deformacijsko stanje, morate ravnotezno enacbo nastaviti na deformiranem in ne nedeformiranem nosilcu. Upostevajte se velike deformacije in ze ste v teoriji III. reda :clown:

kekez
25.09.2006, 10:47
Na hitro, ko sem jaz malo vrgel stvari skupaj, na koncu dobim integralsko enačbo. :crycry:
Seveda sem upošteval, da je L tudi časovno spremenljiv.

Diferencialne enačbe smo na faksu drkali do nezavesti, za integralske smo imeli pa samo en šnel kurz na podiplomcu, tako da še nisem pošteno zagrizel v zadevo. (Najprej, ko/če bo čas, se bom poizkušal znebiti zadeve :coffee: )

mrjerry
25.09.2006, 10:49
Po mojem ni nujno, da izges ravno najtezje konje, glede na to, da imas notri enakomerna gibanja, pa konstantno relativno hitrost.

Ce se postavis v vlogo polza - zaradi konstantne relativne hitrosti je njegov njegov premik vedno kompenziran. On dejansko preleze samo en meter. Podobno vprasanje je, kako dolgo potrebujes, ce mirujes na vlaku, ki se pelje s 120km/h iz ljubljane v maribor.

I think... :shy:

kekez
25.09.2006, 10:52
Po mojem ni nujno, da izges ravno najtezje konje, glede na to, da imas notri enakomerna gibanja, pa konstantno relativno hitrost.

Ce se postavis v vlogo polza - zaradi konstantne relativne hitrosti je njegov njegov premik vedno kompenziran. On dejansko preleze samo en meter. Podobno vprasanje je, kako dolgo potrebujes, ce mirujes na vlaku, ki se pelje s 120km/h iz ljubljane v maribor.

I think... :shy:
To ni čisto res. Pot se mu enakomerno podaljšuje. Elastika se podaljšuje tudi pred njim, na še neprehojeni poti.

mrjerry
25.09.2006, 11:03
Hm... Zgleda da bo res treba se en diferencial napisat... Mas point, da. Njemu se pot sicer skompenzira, vendar se mi v vsakem trenutku odmakne cilj in se mora nato premikati tudi po raztegnjenih delih...

Lahko pa bi napisal razdaljo polza glede na tocko B. Ta pa definitivno gre od L proti 0.

Neuromancer
25.09.2006, 11:11
kekez, ni treba reševat integralskih enačb ampak prepoznat diferencialne v tistem kar imaš (hint: abs. hitrost) :D

mrjerry
25.09.2006, 11:27
Heh, 3/4 mas reseno ze, ko pogruntas, koliko oznak rabis :clown:

Neuromancer
25.09.2006, 11:33
tako je, kar lepo rešit splošen primer z v0 (hitrost raztegovanja elastike), vp (hitrost polža) in l0 (začetna dolžina elastike) :D

Maxus
25.09.2006, 11:38
Ker so mi itegrali,odvodi,funkcije in vsa ostale življensko važne matematične enačbe deveta vas,bom kar po kovinarsko na pamet usekal-polž bo rabu več kot tri dni.
V kolikor bo vaš "strokovni"izračun manj od treh dni,vam svetujem da si "zmislite"novo formulo:veryevil: :lala:

mrjerry
25.09.2006, 11:51
Neki zlo nelinearnega prihaja ven :D

Maxus
25.09.2006, 12:02
Neki zlo nelinearnega prihaja ven :D

:angel: na koncu se mrtvi štejejo,džeri:veryevil: ...kar veselo vzemi svinčnik in papir,rehenšiber je tud dovoljen,pa veselo na delo:2thumbs:

mrjerry
25.09.2006, 12:06
Mogoce bi lahko izhajal iz deformacij. V vsakem trenutku je deformacija (relativni raztezek) vsake tocke enaka. Se pa hitrost deformacije spreminja s casom (pada).

Premik u v nekem trenutku je
u = x/L Delta L, kjer je x lega opazovane tocke, L trenutna dolzina elastike in Delta L sprememba dolzine elastike. Ta pa je enaka v0t, saj se tocka B giblje enakomerno.

u=x/L v0 t

Ce to odvajamo po x, dobimo deformacijo. Nato odvajamo se po t, da dobimo hitrost deformacije.

de/dt=v0/L

Iz hitrosti deformacije (treba je dobiti se L) bi bilo nato morda lazje dolociti hitrosti posameznih tock na elastiki, kar je u bistvu najtezji del problema. Temu nato pristejes se hitrost polza in si z vode.

mrjerry
25.09.2006, 12:08
:angel: na koncu se mrtvi štejejo,džeri:veryevil: ...kar veselo vzemi svinčnik in papir,rehenšiber je tud dovoljen,pa veselo na delo:2thumbs:

Kot inzenir se ne bom delal norca iz kovinarjev, bi pa samo neobvezno pripomnil, da je bistveno lazje najti 2000 ljudi, ki bodo vlekli kamnite bloke na piramido kot pa enega, ki bo zrisal zerjav. Se posebej, ce hoces narediti vec kot eno piramido ;).

pinky
25.09.2006, 12:16
jerry ... hitrost vsake posamezne točke na elastiki je ves čas (prvotna oddaljenost od izhodišča)/(na dan)

mrjerry
25.09.2006, 12:26
Si ziher? Po moje je hitrost enaka trenutna razdalja od izhodisca / trenutna dolzina elastike * v0

Trenutna razdalja od izhodisca pa je premik tiste tocke do tega trenutka, trenutna dolzina elastike pa zacetna dolzina plus premik tocke B (ki je enak v0 t).

Zato je trenutna hitrost funkcija kraja in casa.

Bolj, kot se elastika razteguje, pocasneje se posamezne tocke gibljejo. Razen tock A in B, katerih hitrost je konstantna.

pinky
25.09.2006, 12:29
mal logike in poskušanja uporab

za končno veš da je meter na dan

sredinska je skoz na sredini - se prav na začetku na pol meta, po enem dnevu (ko ma elastika 2 m) na enem metru, po dveh dnevih na metru pa pol => pol metra na dan

četrt metra je na četrtini - po enem dnevu na pol metra, po dveh dnevih na 3/4 metra => četrt metra na dan

Maxus
25.09.2006, 12:30
Kot inzenir se ne bom delal norca iz kovinarjev, bi pa samo neobvezno pripomnil, da je bistveno lazje najti 2000 ljudi, ki bodo vlekli kamnite bloke na piramido kot pa enega, ki bo zrisal zerjav. Se posebej, ce hoces narediti vec kot eno piramido ;).

:2thumbs: Se strinjam:2thumbs: Le koga bo tisti eden najel za izdelavo žerjava:think: ;)

PS
Teo,mi se samo hecamo:clown:

BojanH
25.09.2006, 12:57
Polz ima, od zunaj gledano, hitrost, ki je vsota njegove hitrosti po traku (1m/dan= v0p) plus hitrost tocke na traku, kjer se polz trenutno nahaja v casu t.
Tocka B se pomika s hitrostjo raztezanja traku (1m/dan = v(B)), tocka na polovici traku se giblje s hitrostjo 1/2*v(B).

Torej je pot, ki jo opravi v casu t enaka: s(t) = I(0,t) (v0p + vt(x;x = x(t)))dt, I(0,t)()dt je integral od 0 do t

vt(x;x v [A,B]) = x/AB*v(B);

x je pozicija polza na traku v casu t: x = v0p*t;

vt(x) = v0p*t/AB*v(B);

s(t) = I(0,t) (v0p + v0p*v(B)*t)dt = ... = v0p*t + v0p*v(B)/AB*t*t/2;

Trak se razteguje s hitrostjo v(B), torej je njegova dolzina po casu t enaka: l(t) = l0 + v(B)*t

Zgornji dve enacbi enacimo med sabo (ko bo polz opravil pot, ki je enaka dolzini traku v casu t, bo koncal):

1m/dan*t + 1m/dan*1m/dan/1m^2*t*t/2 = 1m + 1m/dan*t
t*t/2 = 1m => t = sqrt(2) = 1,4142... dni

Torej, polz rabi 1,4142... dni, da prileze do konca traku

Maxus
25.09.2006, 13:02
Si ziher? Po moje je hitrost enaka trenutna razdalja od izhodisca / trenutna dolzina elastike * v0

Trenutna razdalja od izhodisca pa je premik tiste tocke do tega trenutka, trenutna dolzina elastike pa zacetna dolzina plus premik tocke B (ki je enak v0 t).

Zato je trenutna hitrost funkcija kraja in casa.

Bolj, kot se elastika razteguje, pocasneje se posamezne tocke gibljejo. Razen tock A in B, katerih hitrost je konstantna.

Bolj kot se elastika razteguje,počasneje se posamezne točke gibljejo-s tem se strinjam:2thumbs:

Razen točk A in B,katerih hitrost je konstantna-s tem se ne strinjam...po mojem hitrost konstantno pada.Ali se motim?

mrjerry
25.09.2006, 14:16
Tocka A je vpeta in ves cas miruje. Tocka B se ves cas giblje s hitrostjo v0.

Pinky, naceloma imas prav. Problem pa se pojavi, ko sredinska tocka, na primer, po enem dnevu ni vec v tocki x=L/2, ampak je v tocki x = L. Odvisno je torej, ali opisujes hitrost tocke na elastiki, ali pa hitrost tocke v absolutnem koordinatnem sistemu. Si me pa s komentarjem opomnila, da sem tud jaz mal prepovrsno pogledal na zadevo.

Majkemi, skoda da nimam casa se mal bolj resno poglobit v tole :(

Neuromancer
25.09.2006, 18:12
Blizu, ampak to še ni to.

Polz ima, od zunaj gledano, hitrost, ki je vsota njegove hitrosti po traku (1m/dan= v0p) plus hitrost tocke na traku, kjer se polz trenutno nahaja v casu t.
Tocka B se pomika s hitrostjo raztezanja traku (1m/dan = v(B)), tocka na polovici traku se giblje s hitrostjo 1/2*v(B).

Torej je pot, ki jo opravi v casu t enaka: s(t) = I(0,t) (v0p + vt(x;x = x(t)))dt, I(0,t)()dt je integral od 0 do t


Točno.


vt(x;x v [A,B]) = x/AB*v(B);


Treba je upoštevat naslednje: x = x(t), AB = AB(t)


x je pozicija polza na traku v casu t: x = v0p*t;


Nak. Pozicija polza na traku je enaka zgornjemu integralu.

Neuromancer
25.09.2006, 18:18
Si ziher? Po moje je hitrost enaka trenutna razdalja od izhodisca / trenutna dolzina elastike * v0

Trenutna razdalja od izhodisca pa je premik tiste tocke do tega trenutka, trenutna dolzina elastike pa zacetna dolzina plus premik tocke B (ki je enak v0 t).

Zato je trenutna hitrost funkcija kraja in casa.

Bolj, kot se elastika razteguje, pocasneje se posamezne tocke gibljejo. Razen tock A in B, katerih hitrost je konstantna.

Vse res.
Trenutna hitrost je funkcija kraja in časa, kraj pa je tudi funkcija časa, tako da diferencialna enačba ni parcialna. Spremenljivka je opravljena pot, njen odvod po času je hitrost in to je dovolj za rešitev. Gre za nehomogeno linearno diferencialno enačbo prvega reda z (... eeeerm, kako se že temu reče...) enim nekonstantnim koeficientom.

mrjerry
26.09.2006, 13:49
Meni se je vceraj nekje zataknilo... :blush:

Neuromancer
26.09.2006, 14:04
Napiši si še enkrat enačbo za absolutno hitrost polža, zamenjaj v(abs) z dx/dt in jo dobro poglej :)

mrjerry
26.09.2006, 14:11
Dobim

dx = v0dt + (v0 dx)/(L0 + v0t)dt

To izhaja iz hitrosti tocke na razdalji x od izhodisca (hitrost v tej tocki pada, x pa gre od 0 do L0+v0t). Polz mora preiti vse tocke, da pride do cilja.

Zdaj pa zijam v enacbo in gruntam, ali ima locljive spremenljivke ali ne...

Neuromancer
26.09.2006, 14:17
Dobim

dx = v0dt + (v0 dx)/(L0 + v0t)dt

To izhaja iz hitrosti tocke na razdalji x od izhodisca (hitrost v tej tocki pada, x pa gre od 0 do L0+v0t). Polz mora preiti vse tocke, da pride do cilja.

Zdaj pa zijam v enacbo in gruntam, ali ima locljive spremenljivke ali ne...

Na desni strani nimaš dx ampak samo x!

mrjerry
26.09.2006, 14:21
Mas res, ja... Narobe sem prepisal, tukile na papirju mam prav...

Sam od tuki naprej se zatakne. Kot obicajno nimam problemov s fizikalnim, ampak matematicnim delom :clown:

mrjerry
26.09.2006, 14:40
Aha ze mam... Ekola, enacba je definitivno homogena :cool:
Oziroma... nearly homogena, kar naj bi bilo zadost.

Neuromancer
26.09.2006, 14:42
Haha, nesi dt nazaj pod dx. Homogena je tolk kolkr je v0 = 0.

mrjerry
26.09.2006, 15:02
Sem nasel v eni bukli... Tkole pise:

Ce imas enacbo oblike
dy/dx = f( (a1x+b1y+c1)/a2x + b2y + c2 )

je to skoraj homogena enacba. Homogena enacba pa je tista, ki je dy/dx = f(y/x). Ne vem, ce se tega spomnis s faksa... Nicelni zacetni pogoji ti pa dajo homogen sistem enacb za koeficiente, kar ni cisto isto. Je pa res, da smo vecino casa nadrkavali slednje, potem pa clovek pozabi detajle...

U glavnem, bukla pravi, da se nearly homogene enacbe resuje tako, da se najprej pogleda determinanto koeficientov a1, a2 (1. stolpec) in b1, b2 (2. stolpec). V nasem primeru je determinanta enaka nic (kar ni kul).

Tedaj se enacbo prepise v obliko
du/dx = a1 + b1(u+c1)/(ku+c2) , kjer je u = a1x + b1y

Neuromancer
26.09.2006, 15:14
Mi imamo v imenovalcu (a1x + a2). A gre to skupaj s tvojim nastavkom?


Sicer pa splošno nehomogeno diferencialno enačbo prvega reda zapišemo takole:

d/dt(x(t)) + a(t) x(t) = b (t)

Nehomogena je zato, ker je na desni strani funkcija b(t), homogena bi imela nič.


Nastavke za reševanje je najlažje izgooglat. Jaz sem uporabil nastavek z naslednje strani:
http://www.physics.ohio-state.edu/~physedu/mapletutorial/tutorials/diff_eqs/non_homo.htm

mrjerry
26.09.2006, 15:33
Ja gre, ostalo je pac enako nic.

Mogoce je v tem finta, da je `skoraj' homogena... Ker mas prav, ja, dejansko JE nehomogena, se pa, kot kaze, da neki narest, kot da ne bi bila. Sicer nima veze, ce mas nastavek je ipak lazje, jaz ga za tisto, kar sem napisal nimam.

mrjerry
26.09.2006, 15:38
Ej neuro, sam neki, mimogrede... Definicija naloge pravi, da je hitrost polza glede na tocko B ves cas enaka v0.

To pomeni, da je absolutna hitrost polza ves cas enaka 2v0, n'est-ce pas?

Neuromancer
26.09.2006, 15:41
Moja diferencialna zgleda takole:

dx/dt - (1/(l0/v0 + t))x = vp

a(t) = - 1/(l0/v0 + t)
b(t) = vp

Z nastavkom iz zgornje web strani je rešitev samo še stvar telovadbe.


EDIT: Naloga pravi, da je hitrost polža glede na elastiko ves čas enaka v0 (torej glede na hitrost elastike v trenutni točki). Piše samo, da se polž približuje točki B.

mrjerry
26.09.2006, 15:45
Aha ok, just making sure... saj drgac bi bilo brez veze

Diferencialno sem pa tocno tako dobil, ja.
Telovadit se mi pa ne da.

Neuromancer
26.09.2006, 15:51
Eh, strojnik :D

mvlblmvlbl
07.10.2006, 05:21
Neuromancer,

Lahko na pot gledamo kot konstanto in na hitrost polza kot nelinearno (pojemek)?

Neuromancer
12.10.2006, 09:32
Ne vem, morda bi se dalo tudi tako priti do rezultata.
Nastavki za reševanje pa so sicer posejani po tej temi.

Tommo
12.10.2006, 11:58
Rešitev je v priponki. Toliko časa ni nihče ponudil pametne rešitve, da sem si vzel čas in rešil sam.

Neuromancer
12.10.2006, 18:45
Točno tako, ni kaj za dodat. Bravo, Tommo!

Case closed.

SPAM
13.10.2006, 12:20
Rešitev je v priponki. Toliko časa ni nihče ponudil pametne rešitve, da sem si vzel čas in rešil sam.
svaka čast da se ti je dal to vse preračunavat :2thumbs: