Dlančnik (PDA)

Poglejte polno različico : Še malo kombinatorike - dva vlaka


Neuromancer
07.02.2007, 17:36
Na železniški postaji sta dva identična vlaka, ki ob isti uri odpeljeta na isto relacijo.
Denimo, da na postajo pride 1.000 ljudi, ki se želijo ob tej uri peljati v tej smeri. Verjetnost, da potnik izbere en ali drug vlak je enaka.

Koliko sedežev mora biti v vsakem vlaku, da bo vsak potnik dobil sedež z verjetnostjo 99%?
Potnik ostane v vlaku, ki ga je izbral, torej ne išče sedeža v drugem vlaku.

srus012
07.02.2007, 21:18
495.

Pikado
07.02.2007, 21:40
990...:dontknow:

Neuromancer
07.02.2007, 22:26
Ne in ne :)

kekez
07.02.2007, 23:22
Na uč ene 535

Neuromancer
07.02.2007, 23:26
Dobr uč. Zlo bliz.

kekez
07.02.2007, 23:32
Malo mi je tudi Bernoulli prišepnil :blush: :dontknow: :angel:

Pikado
08.02.2007, 07:56
Potnik ostane v vlaku, ki ga je izbral...ker obstaja skrajna možnost, da vsi potniki izberejo en vlak in ker morajo tam ostati, potem mora biti v enem vlaku 990 sedežev, če hočeš zadostiti tistih 99 %....

kekez
08.02.2007, 08:22
Potnik ostane v vlaku, ki ga je izbral...ker obstaja skrajna možnost, da vsi potniki izberejo en vlak in ker morajo tam ostati, potem mora biti v enem vlaku 990 sedežev, če hočeš zadostiti tistih 99 %....

Moraš upoštevati, da je tvoja skrajna možnost skrajno neverjetna. Zato se niti v veliko poizkusih praktično ne bo nikoli zgodilo, da bi kdo ostal brez sedeža. Torej verjetnost ne bo 99% ampak mnogo večja (na veliko decimalk skoraj 100).

Pikado
08.02.2007, 08:36
Baje so matematiki skrajno natančni...skrajna možnost ni moja, ampak je verjetna, ne glede na zelo majhno verjetnost...če hočeš potniku zagotoviti tistih 99 % jo moraš upoštevat...ali pa spremenit pogoje in potniku dati možnost da zamenja vlak!

oskar1
08.02.2007, 08:46
537 (v okviru natančnosti mojega računalnika);)

Neuromancer
08.02.2007, 12:39
Morda še pojasnilo?

kekez
20.02.2007, 12:11
Morda še pojasnilo?
Očitno bom moral jaz. :dontknow:
Torej pojasnilo bolj kmečke narave, da bo vsak zastopil (z iteracijo).

Za začetek privzemimo, da je samo 1 potnik.
Imamo dva možna enako verjetna dogodka: gre na vlak 0 ali na vlak 1, že če ima vlak 1 sedež, je 100% verjetnost.

2 potnika:
imamo 4 enako verjetne dogodke
0 0 oba gresta na vlak 0
0 1 prvi gre na vlak 0, drugi na vlak 1
1 0 prvi gre na vlak 1, drugi na vlak 0
1 1 oba gresta na vlak 1
Dogodki nas v resnici ne zanimajo. Zanima nas porazdelitev verjetnosti.
Torej 50% da gresta oba na isti vlak in 50% da gre vsak na svoj vlak.
1 sedež 50% verjetnost sedenja
2 sedeža 100% verjetnost sedenja

3 potniki:
imamo 8 enako verjetnih dogodkov
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
Če povzamemo porazdelitev:
25%, da gredo vsi na isti vlak
75%, da gre 1 na 1. vlak in 2 na 2. vlak ali obratno
Verjetnosti sedenja: 2 sedeža - 75%

4 potniki:
Porazdelitev za 16 možnih enakovrednih dogodkov:
12,5%, da gredo vsi na isti vlak
50%, da gre 1 na 1. vlak in 3 na 2. vlak (ali obratno)
37,5%, da gresta 2 potnika na vsak vlak
Verjetnosti sedenja: 2 sedeža - 37,5%, 3 sedeži 87,5% (sumiramo 50 + 37,5)

Pri 1000 potnikih imamo približno 10^300 možnih enakovrednih dogodkov.

V bistvu gre za binomsko porazdelitev verjetnosti, oz. za Bernoullijev proces, ki govori o združeni porazdelitvi verjetnosti posameznih dogodkov, ki ima vsak samo 2 možnosti. Npr. 1000x mečemo kovanec, s kolikšno verjetnostjo bo posamezen izid (recimo 800 cifer : 200 necifer)
Potem moramo samo sumirati ugodne skupaj in neugodne skupaj. Ugodnih mora biti 99% in neugodnih 1%.

Meni se ni dalo sumirati in sem (kot rečeno) na uč ocenil.
Excel tukaj ni ravno v pomoč, ker gre za tako majhne posamezne verjetnosti, da zaokrožuje na 0.
Direktne formule se mi pa ni ljubilo poiskati ali izpeljati.

mrjerry
20.02.2007, 12:18
Saj lahko poskusis tudi s Poissonom...

Neuromancer
21.02.2007, 00:14
K kekčevi razlagi skoraj ni več kaj za dodat, razen da Excel je uporaben za točen izračun. Verjetnost razporeda potnikov 540-460 je še vedno velikostnega reda nekaj desettisočin in ni težav z zaokroževanjem.

Torej, rezultat je 541: http://shrani.si/files/dvavlakatxvh.xls
Vsota verjetnosti v rumenih poljih je 99,14%.

Torej, kdor še ne razume: verjetnost, da se v prvi vlak usede 459 ljudi (in v drugega 541) + verjetnost, da se v prvi vlak usede 460 ljudi + ... + verjetnost, da se v prvi vlak usede 541 ljudi = 99,14%.
In obratno: primerov, ko se v enega od vlakov hoče usesti več kot 541 ljudi, je manj kot 1%.

Poissonova aproksimacija verjetno ne bo uporabna, ker zahteva čim manjši p (v našem primeru pa je 0,5).

Pikado
21.02.2007, 09:30
In ko na en vlak sede Afričan, vsi belčki spisdijo v drugega, da ne govorim o kakšnem okuženem z AIDSom...ko začne matematika uporabljati ljudi v enačbi, istočasno pa izključi človeški faktor, je sama sebi namen, za igračkanje....:clown: ;)

mrjerry
21.02.2007, 11:56
K kekčevi razlagi skoraj ni več kaj za dodat, razen da Excel je uporaben za točen izračun. Verjetnost razporeda potnikov 540-460 je še vedno velikostnega reda nekaj desettisočin in ni težav z zaokroževanjem.

Torej, rezultat je 541: http://shrani.si/files/dvavlakatxvh.xls
Vsota verjetnosti v rumenih poljih je 99,14%.

Torej, kdor še ne razume: verjetnost, da se v prvi vlak usede 459 ljudi (in v drugega 541) + verjetnost, da se v prvi vlak usede 460 ljudi + ... + verjetnost, da se v prvi vlak usede 541 ljudi = 99,14%.
In obratno: primerov, ko se v enega od vlakov hoče usesti več kot 541 ljudi, je manj kot 1%.

Poissonova aproksimacija verjetno ne bo uporabna, ker zahteva čim manjši p (v našem primeru pa je 0,5).

Obstaja tudi Poisson za primer p = 0,5 ampak je nekoliko bolj `grda' formula :clown: